Упр.437 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В конус вписана сфера радиуса $$r$$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен $$a$$.
Пусть $$O$$ — центр вписанной сферы, $$M$$ — центр основания конуса, $$B$$ — точка касания сферы с основанием, $$S$$ — вершина конуса. Тогда $$OB$$ — биссектриса угла $$\angle SBM$$, поэтому
$$\angle OBM=\frac{\alpha}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$OBM$$ имеем
$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{r}{BM},$$
откуда
$$BM=\frac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$
Так как $$BM$$ — радиус основания конуса, то
$$S_{\text{осн}}=\pi BM^2=\frac{\pi r^2}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
Обозначим образующую конуса через $$l$$. В треугольнике $$SMB$$
$$\cos \alpha=\frac{BM}{l},$$
значит
$$l=\frac{BM}{\cos \alpha}=\frac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}\cos \alpha}.$$
Тогда боковая поверхность конуса равна
$$S_{\text{бок}}=\pi rl=\frac{\pi r^2}{\tan \frac{\alpha}{2}\cos \alpha}.$$
Следовательно, полная поверхность конуса:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}} =\frac{\pi r^2}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}+\frac{\pi r^2}{\tan \frac{\alpha}{2}\cos \alpha}.$$
Преобразуем выражение, используя формулу
$$\cos \alpha=2\cos^2 \frac{\alpha}{2}-1,$$
и тождество
$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}.$$
После упрощения получаем
$$S_{\text{полн}}=\frac{2\pi r^2}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}\cos \alpha}.$$
Ответ: $$\displaystyle \frac{2\pi r^2}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}\cos \alpha}$$.
