Упр.436 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R (т. e. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 172, б). Найдите: а) r, если известны R и ф; б) R, если известны r и ф; в) ф, если R= 1 см, г = v3 см.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно является равнобедренным треугольником, в который вписана окружность радиуса $$R$$. Пусть $$H$$ — середина основания осевого сечения, $$S$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр вписанной окружности.

Так как сфера касается основания конуса и каждой его образующей, то в осевом сечении окружность касается основания и боковых сторон треугольника. Следовательно, $$O$$ лежит на биссектрисе угла при вершине, а также на высоте треугольника.

Обозначим угол при вершине осевого сечения через $$\varphi$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$SOB$$ имеем

$$\angle SBO=\frac{\varphi}{2}, \qquad \angle SOB=90^\circ-\frac{\varphi}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$OHB$$:

$$\tan \angle HBO=\frac{OH}{HB}=\frac{R}{r}.$$

Но

$$\angle HBO=45^\circ-\frac{\varphi}{4},$$

поэтому

$$\frac{R}{r}=\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right).$$

Отсюда

$$r=\frac{R}{\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right)}=R\tan\left(45^\circ+\frac{\varphi}{4}\right).$$

Это ответ к пункту а).

Из той же формулы получаем для пункта б):