Упр.436 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В конус с углом $$\varphi$$ при вершине осевого сечения и радиусом основания $$r$$ вписана сфера радиуса $$R$$ (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей). Найдите:
- а) $$r$$, если известны $$R$$ и $$\varphi$$;
- б) $$R$$, если известны $$r$$ и $$\varphi$$;
- в) $$\varphi$$, если $$R=1\ \text{см}$$, $$r=\sqrt{3}\ \text{см}$$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с вершиной $$S$$, основанием $$AB$$ и углом при вершине $$\varphi$$. Центр вписанной сферы в этом сечении лежит на биссектрисе угла $$\varphi$$ и на высоте конуса.
Обозначим через $$O$$ центр сферы, через $$H$$ — середину основания $$AB$$. Тогда $$OH=R$$, а в прямоугольном треугольнике $$OBH$$ имеем
$$\angle HBS=90^\circ-\frac{\varphi}{2}.$$
Так как $$OB$$ — биссектриса угла $$\angle HBS$$, то
$$\angle HBO=\frac{1}{2}\angle HBS=45^\circ-\frac{\varphi}{4}.$$
Из прямоугольного треугольника $$OBH$$ получаем
$$\tan \angle HBO=\frac{OH}{BH}=\frac{R}{r}.$$
Следовательно,
$$\frac{R}{r}=\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right),$$
откуда
$$r=\frac{R}{\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right)}.$$
Используя формулу
$$\tan(45^\circ-x)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x},$$
можно также записать
$$r=R\cdot \frac{1+\tan\frac{\varphi}{4}}{1-\tan\frac{\varphi}{4}}.$$
Теперь выразим $$R$$:
$$R=r\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right).$$
Для пункта в) дано $$R=1\text{ см}$$, $$r=\sqrt{3}\text{ см}$$. Тогда
$$\frac{R}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right).$$
Так как $$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ то
$$45^\circ-\frac{\varphi}{4}=30^\circ,$$
$$\frac{\varphi}{4}=15^\circ,$$
$$\varphi=60^\circ.$$
Ответ
а) $$r=\dfrac{R}{\tan\left(45^\circ-\dfrac{\varphi}{4}\right)}$$; б) $$R=r\tan\left(45^\circ-\dfrac{\varphi}{4}\right)$$; в) $$\varphi=60^\circ$$.
