Упр.435 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сфера вписана в цилиндр (т. e. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей, рис. 172, a). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.

Пусть радиус сферы равен $$R$$. Тогда, так как сфера вписана в цилиндр, радиус основания цилиндра тоже равен $$R$$, а высота цилиндра равна диаметру сферы:

$$h=2R.$$

Площадь сферы:

$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2.$$

Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований:

$$S_{\text{цил}}=2\pi Rh+2\pi R^2.$$

Подставим $$h=2R$$:

$$S_{\text{цил}}=2\pi R\cdot 2R+2\pi R^2=4\pi R^2+2\pi R^2=6\pi R^2.$$

Тогда искомое отношение равно

$$\frac{S_{\text{сф}}}{S_{\text{цил}}}=\frac{4\pi R^2}{6\pi R^2}=\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$\frac{2}{3}$$