Упр.434 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
Обозначим через $$h$$ высоту пирамиды, а через $$a$$ — сторону основания. Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды, поэтому для правильной четырёхугольной пирамиды выполняется
$$R^2=h(10-h),$$
где $$R=5$$ — радиус описанной сферы. Тогда
$$25=h(10-h).$$
Для вписанной сферы радиус $$r=2$$. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину, центр основания и середину стороны основания. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, из которого
$$r=\frac{a}{2}\cdot \frac{h}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}+ \frac{a}{2}}.$$
Удобнее воспользоваться известной формулой для правильной пирамиды:
$$r=\frac{S_{\text{осн}}}{p+l},$$
где $$S_{\text{осн}}=a^2$$ — площадь основания, $$p=2a$$ — полупериметр основания, $$l$$ — апофема. Но в данном случае проще использовать соотношение из сечения:
$$r=\frac{a}{2}\cdot \frac{h}{l+\frac{a}{2}}, \qquad l=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}.$$
Тогда
$$2=\frac{a}{2}\cdot \frac{h}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}+\frac{a}{2}}.$$
После преобразований получаем систему
$$ \begin{cases} 25=h(10-h),\\ a\sqrt{4h^2+a^2}-a^2=8h. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$h^2-10h+25=0,$$
откуда
$$h=5.$$
Подставим это значение во второе уравнение:
$$a\sqrt{100+a^2}-a^2=40.$$
Проверим подходящее значение. При $$a=4\sqrt{2}$$ имеем
$$a^2=32,\qquad \sqrt{100+a^2}=\sqrt{132}=2\sqrt{33},$$
и равенство не выполняется. Значит, используем более удобную связь между $$r$$, $$h$$ и $$a$$ для правильной пирамиды:
$$r=\frac{ah}{2\sqrt{4h^2+a^2}+2h}.$$
Подставляя $$r=2$$ и $$h=5$$, получаем
$$2=\frac{5a}{2\sqrt{100+a^2}+10}.$$
Отсюда
$$4\sqrt{100+a^2}+20=5a,$$
что даёт после возведения в квадрат
$$16(100+a^2)=(5a-20)^2.$$
Раскрывая скобки, получаем
$$1600+16a^2=25a^2-200a+400,$$
$$9a^2-200a-1200=0.$$
Решая квадратное уравнение, находим положительный корень:
$$a=\frac{200+280}{18}= \frac{480}{18}= \frac{80}{3}.$$
Следовательно,
$$a=\frac{80}{3}\text{ см}, \qquad h=5\text{ см}.$$
Ответ
$$a=\frac{80}{3}\text{ см},\quad h=5\text{ см}.$$