Упр.434 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны $$2\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
Обозначим через $$h$$ высоту пирамиды, через $$a$$ — сторону основания. Пусть $$O$$ — центр основания, $$S$$ — вершина пирамиды, $$H$$ — центр вписанной сферы, $$L$$ — центр описанной сферы.
Так как пирамида правильная, то $$SO\perp$$ основанию, а точки $$H$$ и $$L$$ лежат на высоте $$SO$$.
Для вписанной сферы радиуса $$r=2$$ имеем в сечении через ось пирамиды:
$$OH=r=2.$$
Для описанной сферы радиуса $$R=5$$ получаем:
$$SL=R=5.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды и радиусом, проведённым к середине стороны основания. Тогда
$$\left(\frac a2\right)^2=h(10-h),$$
поскольку для правильной четырёхугольной пирамиды расстояние от центра основания до стороны равно $$\frac a2$$, а для вписанной сферы выполняется стандартная связь между высотой и радиусом.
Кроме того, из соотношений для вписанной и описанной сфер получаем систему:
$$\begin{cases} a\sqrt{4h^2+a^2}-a^2=8h,\\ a^2=2h(10-h). \end{cases}$$
Подставим $$a^2=2h(10-h)$$ в первое уравнение:
$$a\sqrt{4h^2+a^2}=8h+2h(10-h).$$
Возводя в квадрат и упрощая, получаем:
$$2h^2(h^2-14h+48)=0.$$
Отсюда
$$h^2-14h+48=0,$$
$$h=6 \quad \text{или} \quad h=8.$$
Найдём соответствующие значения $$a$$:
при $$h=8$$
$$a^2=2\cdot 8\cdot(10-8)=32,$$
значит, $$a=4\sqrt2$$;
при $$h=6$$
$$a^2=2\cdot 6\cdot(10-6)=48,$$
значит, $$a=4\sqrt3$$.
Оба значения удовлетворяют условию задачи.
Ответ
$$a=4\sqrt2\text{ см},\ h=8\text{ см}$$ или $$a=4\sqrt3\text{ см},\ h=6\text{ см}.$$
