Упр.433 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $$a$$, а боковое ребро равно $$2a$$. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$S$$ — её вершина, $$O$$ — центр основания, $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда $$SO$$ — высота пирамиды, а $$SM$$ — высота боковой грани.

Так как основание — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, то

$$OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad BM=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SBM$$ имеем

$$SM=\sqrt{SB^2-BM^2}=\sqrt{(2a)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SOM$$:

$$SO=\sqrt{SM^2-OM^2}=\sqrt{\frac{15a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}=\sqrt{\frac{44a^2}{12}}=a\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}.$$

Обозначим через $$R$$ радиус описанной сферы, а через $$r$$ — радиус вписанной сферы.

Центр описанной сферы лежит на оси $$SO$$. Пусть он находится в точке $$D$$ на отрезке $$SO$$. Тогда из равенства расстояний до вершин основания и до вершины $$S$$ получаем

$$SD=SO+OD,$$

а из прямоугольных треугольников $$ODS$$ и $$ODA$$, где $$A$$ — вершина основания, следует

$$OD=\frac{AO^2}{OS}=\frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}{SO}=\frac{a^2/3}{a\sqrt{33}/3}=\frac{a}{\sqrt{33}}.$$

Тогда

$$R=SD=SO+OD=\frac{a\sqrt{33}}{3}+\frac{a}{\sqrt{33}}=\frac{12a}{\sqrt{33}}=\frac{4a\sqrt{33}}{11}.$$

Теперь найдём радиус вписанной сферы. Пусть её центр лежит на оси $$SO$$ в точке $$Q$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$SOM$$ отрезок $$QM$$ — биссектриса угла $$\angle SOM$$, поэтому

$$\frac{OQ}{QS}=\frac{OM}{SM}.$$

Так как $$OQ=r$$, $$QS=SO-r$$, то

$$\frac{r}{SO-r}=\frac{OM}{SM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$$

Отсюда

$$3\sqrt{5}\,r=SO-r,$$

$$r(3\sqrt{5}+1)=SO,$$

$$r=\frac{SO}{3\sqrt{5}+1}=\frac{a\sqrt{33}/3}{3\sqrt{5}+1}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$r=\frac{a\sqrt{33}}{3(3\sqrt{5}+1)}\cdot \frac{3\sqrt{5}-1}{3\sqrt{5}-1} =\frac{a\sqrt{33}(3\sqrt{5}-1)}{3(45-1)} =\frac{a\sqrt{33}(3\sqrt{5}-1)}{132}.$$

Следовательно,

$$r=\frac{a(3\sqrt{165}-\sqrt{33})}{132}.$$