Упр.432 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиус сферы равен $$R$$. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна $$R$$; в) вписанного правильного тетраэдра.

а) У куба, вписанного в сферу, диагональ равна диаметру сферы:

$$a\sqrt{3}=2R,$$

откуда

$$a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Полная поверхность куба:

$$S=6a^2=6\cdot \frac{4R^2}{3}=8R^2.$$

б) Рассмотрим осевое сечение правильной шестиугольной призмы. В этом сечении получаем прямоугольник, диагональ которого равна диаметру сферы, то есть $$2R$$. Высота призмы равна $$R$$, значит половина диагонали основания равна

$$\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R.$$

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне, поэтому

$$a=\frac{\sqrt{3}}{2}R.$$

Тогда площадь боковой поверхности призмы:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=6a\cdot R=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R\cdot R=3\sqrt{3}R^2.$$

Площадь одного основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{4}R^2=\frac{9\sqrt{3}}{8}R^2.$$

Следовательно, полная поверхность призмы равна

$$S=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}R^2+3\sqrt{3}R^2=\frac{21\sqrt{3}}{4}R^2.$$

в) Для правильного тетраэдра радиус описанной сферы выражается через ребро $$a$$ формулой

$$R=\frac{a\sqrt{6}}{4},$$

откуда

$$a=\frac{4R}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}R.$$

Площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

$$S=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}a^2.$$

Подставим найденное $$a$$:

$$S=\sqrt{3}\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}R\right)^2=\sqrt{3}\cdot \frac{24}{9}R^2=\frac{8\sqrt{3}}{3}R^2.$$

Ответ: а) $$8R^2$$; б) $$\frac{21\sqrt{3}}{4}R^2$$; в) $$\frac{8\sqrt{3}}{3}R^2$$.