Упр.431 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

а) Докажем, что около любого тетраэдра можно описать сферу.

Пусть дан тетраэдр $$ABCD.$$ Обозначим через $$\alpha$$ плоскость, проходящую через середины рёбер $$AB$$ и $$CD$$ и перпендикулярную к ним. Аналогично построим плоскости $$\beta$$ и $$\gamma,$$ проходящие через середины пар противоположных рёбер и перпендикулярные к ним.

Эти плоскости попарно пересекаются в одной точке $$O.$$ Действительно, точка $$O$$ равноудалена от концов каждого из трёх пар противоположных рёбер, а значит, и от всех четырёх вершин тетраэдра:

$$OA=OB=OC=OD.$$

Следовательно, сфера с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через все вершины тетраэдра, то есть около любого тетраэдра можно описать сферу.

б) Докажем, что в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Пусть в тетраэдре $$ABCD$$ площади граней равны $$S_1, S_2, S_3, S_4,$$ а радиус вписанной сферы равен $$r.$$ Обозначим через $$V$$ объём тетраэдра.

Тогда объём тетраэдра можно представить как сумму объёмов четырёх пирамид с общей высотой $$r$$ и основаниями — гранями тетраэдра:

$$V=\frac{1}{3}r(S_1+S_2+S_3+S_4).$$

Отсюда

$$r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}.$$

Правая часть определяет положительное число, значит, существует точка, равноудалённая от всех граней тетраэдра на расстояние $$r.$$ Сфера с центром в этой точке касается всех четырёх граней, то есть в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Ответ: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.