Упр.431 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Подробный ответ

а) Около любого тетраэдра можно описать сферу.

Пусть дан тетраэдр $$ABCD.$$ Рассмотрим плоскости серединных перпендикуляров к рёбрам $$AB$$ и $$AC.$$ Они пересекаются по прямой $$l,$$ на которой лежат все точки, равноудалённые от $$A,$$ $$B$$ и $$C.$$

Аналогично, плоскости серединных перпендикуляров к рёбрам $$AB$$ и $$AD$$ пересекаются по прямой $$m,$$ на которой лежат все точки, равноудалённые от $$A,$$ $$B$$ и $$D.$$

Точка пересечения прямых $$l$$ и $$m$$ существует и единственна; обозначим её через $$O.$$ Тогда

$$OA=OB=OC,$$

и одновременно

$$OA=OB=OD.$$

Следовательно,

$$OA=OB=OC=OD.$$

Значит, все четыре вершины тетраэдра лежат на сфере с центром $$O$$ и радиусом $$R=OA.$$ Следовательно, около любого тетраэдра можно описать сферу.

б) В любой тетраэдр можно вписать сферу.

Пусть в тетраэдре $$ABCD$$ площади граней равны $$S_1, S_2, S_3, S_4,$$ а объём тетраэдра равен $$V.$$ Обозначим через $$r$$ радиус вписанной сферы, а через $$O$$ — её центр.

Так как сфера касается всех граней тетраэдра, то расстояние от точки $$O$$ до каждой грани равно $$r.$$ Тогда объём тетраэдра можно представить как сумму объёмов четырёх пирамид с общей вершиной $$O$$ и основаниями — гранями тетраэдра:

$$V=\frac{1}{3}rS_1+\frac{1}{3}rS_2+\frac{1}{3}rS_3+\frac{1}{3}rS_4.$$

Отсюда

$$V=\frac{r}{3}(S_1+S_2+S_3+S_4),$$

то есть

$$r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}.$$

Правая часть определяет положительное число, значит существует сфера радиуса $$r,$$ касающаяся всех граней тетраэдра. Следовательно, в любой тетраэдр можно вписать сферу.