Упр.430 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении.

Подробный ответ

а) Рассмотрим правильную призму. Ее основания — равные правильные многоугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований призмы, а $$O$$ — центр сферы, описанной около призмы. Тогда все вершины нижнего основания равноудалены от точки $$O$$, а все вершины верхнего основания тоже равноудалены от $$O$$.

Так как основания призмы равны и расположены параллельно, то точки, равноудаленные от всех вершин каждого основания, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости оснований и проходящей через их центры. Следовательно, центр сферы $$O$$ лежит на прямой $$O_1O_2$$.

Кроме того, расстояния от $$O$$ до всех вершин нижнего основания и до всех вершин верхнего основания одинаковы. Значит, точка $$O$$ должна быть равноудалена от плоскостей оснований, а это возможно только тогда, когда она делит отрезок $$O_1O_2$$ пополам.

Итак, центр сферы, описанной около правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры ее оснований.

б) Рассмотрим правильную пирамиду $$DABC$$, где $$D$$ — вершина, а $$ABC$$ — основание. Пусть $$DH$$ — высота пирамиды, то есть $$DH \perp (ABC)$$, а $$O$$ — центр сферы, описанной около пирамиды.

Так как $$O$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то она лежит на прямой, проходящей через центр описанной окружности треугольника $$ABC$$ и перпендикулярной плоскости $$ABC$$. Обозначим этот центр через $$G$$. Тогда $$OG \perp (ABC)$$.

В правильной пирамиде вершина $$D$$ находится на перпендикуляре к основанию, проведенном через его центр. Следовательно, прямая $$DH$$ также перпендикулярна плоскости $$ABC$$ и проходит через тот же центр основания.

Значит, точки $$D$$, $$H$$ и $$G$$ лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости основания. Центр сферы $$O$$, будучи равноудаленным от $$D$$ и от вершин основания, должен лежать на этой же прямой. Поэтому центр сферы лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении.

Итак, в правильной пирамиде центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении.