Упр.430 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или её продолжении.

а) Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — основания правильной призмы, а $$O$$ — центр сферы, описанной около неё.

Так как призма правильная, то её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, все точки, равноудалённые от вершин основания $$ABC$$, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости $$ABC$$ и проходящей через центр описанной около треугольника $$ABC$$ окружности.

Обозначим через $$P$$ центр окружности, описанной около $$ABC$$. Тогда для любой вершины нижнего основания

$$PA=PB=PC,$$

а для соответствующих вершин верхнего основания, так как $$AA_1=BB_1=CC_1$$ и основания равны, получаем

$$PA_1=PB_1=PC_1.$$

Значит, центр сферы должен лежать на прямой, проходящей через центр $$P$$ нижнего основания и центр $$P_1$$ верхнего основания, причём эти точки равноудалены от всех вершин призмы. Но эта прямая совпадает с осью призмы, а искомый центр сферы делит отрезок $$PP_1$$ пополам.

Итак, центр сферы, описанной около правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры её оснований.

б) Пусть $$S$$ — вершина правильной пирамиды, $$ABC$$ — её основание, $$H$$ — основание высоты пирамиды, а $$O$$ — центр сферы, описанной около пирамиды.

Так как пирамида правильная, то $$SH \perp (ABC)$$, а точка $$H$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$HA=HB=HC.$$

Кроме того, вершина $$S$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$, $$C$$:

$$SA=SB=SC.$$

Значит, точки, равноудалённые от $$A$$ и $$B$$, лежат в плоскости, проходящей через серединный перпендикуляр к $$AB$$; аналогично для пар $$B,C$$ и $$C,A$$. Их пересечение — прямая, проходящая через $$H$$ и перпендикулярная плоскости основания, то есть высота пирамиды $$SH$$.

Следовательно, центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или на её продолжении.