Упр.43 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$.

Так как $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$, то отрезок $$EF$$ является средней линией этого треугольника. Следовательно,

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{AC}{2}.$$

Аналогично, так как $$H$$ и $$G$$ — середины сторон $$AD$$ и $$CD$$ треугольника $$ADC$$, то $$HG$$ — его средняя линия. Значит,

$$HG \parallel AC,\qquad HG=\frac{AC}{2}.$$

Отсюда получаем:

$$EF \parallel HG,\qquad EF=HG.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$EFGH$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.