Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.43 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Медиана АМ и биссектриса CD треугольника АВС с прямым углом В пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если СO=9 и OD=5.

Обозначим $$\angle B=90^\circ$$. Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$CM=BM$$, применим теорему Менелая к треугольнику $$BCD$$ для прямой $$AOM$$:

$$ \frac{DO}{OC}\cdot \frac{CM}{MB}\cdot \frac{BA}{AD}=1. $$

Подставим данные $$DO=5$$, $$OC=9$$, $$CM=BM$$:

$$ \frac{5}{9}\cdot 1\cdot \frac{AB}{AD}=1, $$

откуда

$$ \frac{AB}{AD}=\frac{9}{5}. $$

Тогда

$$ \frac{AB}{AD}=\frac{AB}{AB-BD}=\frac{9}{5}, $$

следовательно,

$$ 5AB=9(AB-BD),\qquad 4AB=9BD. $$

Значит,

$$ \frac{BD}{AB}=\frac{4}{9},\qquad \frac{BD}{AD}=\frac{4}{5}. $$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$ \cos \angle C=\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{5}. $$

Так как $$CD$$ — биссектриса, то

$$ \angle BCD=\frac{\angle C}{2}. $$

Тогда

$$ \cos \angle BCD=\cos \frac{\angle C}{2} =\sqrt{\frac{1+\cos \angle C}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}. $$

В треугольнике $$BCD$$ по теореме косинусов или из определения косинуса:

$$ BC=DC\cos \angle BCD. $$

Так как $$DC=DO+OC=5+9=14$$, то

$$ BC=14\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{42}{\sqrt{10}}. $$

Из отношения $$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac45$$ получаем

$$ AC=\frac54\,BC=\frac54\cdot \frac{42}{\sqrt{10}}=\frac{105}{2\sqrt{10}}. $$

Теперь найдём $$AB$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$ AB=\sqrt{AC^2-BC^2} =\sqrt{\left(\frac{105}{2\sqrt{10}}\right)^2-\left(\frac{42}{\sqrt{10}}\right)^2} =\sqrt{\frac{11025-7056}{40}} =\sqrt{\frac{3969}{40}} =\frac{63}{2\sqrt{10}}. $$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$ S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC =\frac12\cdot \frac{63}{2\sqrt{10}}\cdot \frac{42}{\sqrt{10}} =\frac{1323}{20}. $$

Ответ

$$\frac{1323}{20}$$