Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.43 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Медиана $$AM$$ и биссектриса $$CD$$ треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$B$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$CO=9$$ и $$OD=5$$.
Обозначим $$D\in AB$$, так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$M\in BC$$ и $$CM=BM$$, поскольку $$CM$$ — медиана.
Применим теорему Менелая к треугольнику $$BCD$$ для прямой $$AOM$$:
$$\frac{DO}{OC}\cdot \frac{CM}{MB}\cdot \frac{BA}{AD}=1.$$
Подставим данные:
$$\frac{5}{9}\cdot 1\cdot \frac{BA}{AD}=1,$$
откуда
$$\frac{BA}{AD}=\frac{9}{5}.$$
Так как $$AB=AD+DB$$, то
$$\frac{AB}{AD}=\frac{AD+DB}{AD}=\frac{9}{5},$$
следовательно,
$$\frac{DB}{AD}=\frac{4}{5}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем
$$\cos \angle C=\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{5}.$$
Тогда
$$\sin \angle C=\sqrt{1-\cos^2 \angle C}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$
Поскольку $$CD$$ — биссектриса, то
$$\angle BCD=\frac{\angle C}{2},$$
и потому
$$\cos \angle BCD=\sqrt{\frac{1+\cos \angle C}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
В треугольнике $$BCD$$:
$$BC=DC\cos \angle BCD.$$
Так как $$DC=DO+OC=5+9=14,$$ получаем
$$BC=14\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{42}{\sqrt{10}}.$$
Из отношения $$\frac{BC}{AC}=\frac45$$ находим
$$AC=\frac{5}{4}BC=\frac{5}{4}\cdot \frac{42}{\sqrt{10}}=\frac{105}{2\sqrt{10}}.$$
Теперь найдём $$AB$$ по теореме Пифагора:
$$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{\frac{11025}{40}-\frac{7056}{40}}=\sqrt{\frac{3969}{40}}=\frac{63}{2\sqrt{10}}.$$
Тогда площадь треугольника $$ABC$$ равна
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot \frac{63}{2\sqrt{10}}\cdot \frac{42}{\sqrt{10}}=\frac{1323}{20}.$$
Ответ
$$\frac{1323}{20}$$
