Упр.429 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если в правильную усечённую четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований её боковой грани.
По условию в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду можно вписать сферу. Тогда центры оснований и центр сферы лежат на одной прямой, а сечения пирамиды плоскостью, проходящей через эту прямую и середины боковых рёбер, дают равные касательные отрезки.
Обозначим стороны оснований через $$a$$ и $$b$$, а апофему боковой грани — через $$l$$. Рассмотрим боковую грань усечённой пирамиды. В неё можно вписать окружность, так как в пирамиду вписана сфера. Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны, значит для боковой грани получаем
$$l+l=a+b.$$
Отсюда
$$2l=a+b,$$
то есть
$$l=\frac{a+b}{2}.$$
Следовательно, апофема усечённой правильной четырёхугольной пирамиды равна полусумме сторон её оснований.
Ответ
$$l=\frac{a+b}{2}.$$
