Упр.429 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани.

Подробный ответ

Рассмотрим боковую грань усечённой правильной четырёхугольной пирамиды. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность, так как в пирамиду можно вписать сферу.

Обозначим стороны этой трапеции через $$a$$ и $$b$$, а её боковые стороны — через $$l$$ и $$l$$. Тогда для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, выполняется свойство суммы противоположных сторон:

$$a+b=l+l=2l.$$

Отсюда

$$l=\frac{a+b}{2}.$$

Но боковая сторона трапеции и есть апофема усечённой пирамиды. Значит, апофема равна полусумме сторон оснований её боковой грани.