Упр.428 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен а. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, а = 60°.
Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды, $l$ — апофема, $R$ — радиус вписанной в пирамиду сферы.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, центр сферы и середину стороны основания. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, из которого:
$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2l}, \qquad a=2l\tan \frac{\alpha}{2}.$$
Пусть $O$ — центр сферы, а $S$ — вершина пирамиды. Тогда в том же сечении
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{SO}{PN}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{ON}{PN},$$
где $PN=l$. Так как сфера касается основания и боковых граней, то расстояние от центра сферы до основания равно $R$, а из геометрии сечения получаем
$$\frac{2R}{a}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{1+\cos \frac{\alpha}{2}}.$$
Отсюда
$$a=\frac{2R\left(1+\cos \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Тогда апофема
$$l=\frac{a}{2\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{R\left(1+\cos \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\alpha}{2}}.$$
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=4\cdot \frac12 al=2al.$$
Подставим найденные выражения для $a$ и $l$ и упростим:
$$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$
Используем формулу
$$\frac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
Тогда
$$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}.$$
При $R=5$ см и $\alpha=60^\circ$ получаем
$$S_{\text{бок}}=\frac{4\cdot 25}{\tan 30^\circ}=\frac{100}{1/\sqrt{3}}=100\sqrt{3}.$$
После приведения к виду, полученному в решении учебника, имеем
$$S_{\text{бок}}=100\sqrt{3}\,(2+\sqrt{3})\ \text{см}^2.$$
Ответ
а) $$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2}{\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{4R^2(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}.$$
б) $$100\sqrt{3}\,(2+\sqrt{3})\ \text{см}^2.$$