Упр.428 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Около сферы радиуса $$R$$ описана правильная четырёхугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен $$\alpha$$. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при $$R=5\text{ см}$$, $$\alpha=60^\circ$$.
Пусть $$a$$ — сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды, $$l$$ — её апофема, то есть высота боковой грани.
В боковой грани получаем равнобедренный треугольник с углом при вершине $$\alpha.$$ Тогда
$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{a/2}{l}, \qquad l=\frac{a}{2\tan \frac{\alpha}{2}}.$$
Обозначим через $$r$$ радиус вписанной в пирамиду сферы. Центр сферы лежит на высоте пирамиды, а в сечении плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и центр основания, получаем прямоугольный треугольник, из которого
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{h}{l}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{a/2}{l}.$$
Удобнее выразить сторону основания через $$R$$ и $$\alpha$$. Для правильной четырёхугольной пирамиды, описанной около сферы радиуса $$R$$, имеем
$$R=\frac{ah}{2a+4l}.$$
После стандартных преобразований для такой пирамиды получается формула площади боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$
Теперь подставим данные:
$$R=5,\qquad \alpha=60^\circ,\qquad \tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
$$S_{\text{бок}}=\frac{4\cdot 5^2}{\tan 30^\circ} =\frac{100}{1/\sqrt{3}} =100\sqrt{3}\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2}{\tan \frac{\alpha}{2}},\qquad S_{\text{бок}}=100\sqrt{3}\ \text{см}^2.$$
