Упр.426 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Возьмём для простоты правильную треугольную пирамиду. Обозначим через $$SD$$ её высоту, а через $$O$$ — центр сферы, вписанной в пирамиду.

Проведём в боковой грани высоту $$SE$$, тогда $$SE \perp BC$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая $$DE$$ перпендикулярна $$SE$$. Значит, в треугольнике $$SDE$$ можно рассматривать окружность, вписанную в него.

Пусть $$Q$$ — центр этой окружности. Так как сфера касается граней пирамиды, то её сечение плоскостью $$SDE$$ даёт окружность, касающуюся сторон треугольника $$SDE$$. Следовательно, центр этого сечения лежит на биссектрисе угла при вершине $$S$$ и на биссектрисе угла при вершине $$D$$.

Но в правильной пирамиде все боковые грани равны, поэтому высота $$SE$$ является также биссектрисой соответствующего угла, а точка касания сферы с основанием лежит на оси симметрии пирамиды. Отсюда центр вписанной сферы должен быть равноудалён от всех боковых граней и основания, а значит, лежит на прямой $$SD$$.

Итак, центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте.