Упр.426 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Возьмём для простоты правильную треугольную пирамиду $$SABC$$. Пусть $$SD$$ — её высота, а $$O$$ — центр сферы, вписанной в пирамиду.

Проведём в боковой грани $$SBC$$ отрезок $$SE$$, перпендикулярный $$BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$SE \perp BC$$.

В плоскости $$SDE$$ можно рассмотреть окружность, касающуюся прямых $$DE$$ и $$SE$$. Её центр лежит на биссектрисе угла $$DSE$$. Но эта окружность является сечением вписанной сферы плоскостью $$SDE$$, значит, её центр лежит на прямой $$SD$$.

Следовательно, точка касания сферы с боковой гранью определяется одинаково для всех боковых граней, а центр сферы должен быть равноудалён от всех граней пирамиды. Поэтому он лежит на высоте пирамиды $$SD$$.

Итак, центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте.