Упр.425 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Обозначим центры оснований правильной призмы через $$O_1$$ и $$O_2$$, а центр вписанной сферы — через $$O$$.

Так как сфера касается всех боковых граней призмы, то её центр должен быть равноудалён от всех этих граней. В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания — равные правильные многоугольники, поэтому точка $$O$$ лежит в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через центр основания. Следовательно, проекция центра сферы на плоскость основания совпадает с центром этого основания.

Кроме того, сфера касается обоих оснований призмы. Значит, расстояния от центра сферы до плоскостей оснований равны, то есть центр сферы находится на одинаковом расстоянии от плоскостей оснований.

Но множество точек, равноудалённых от двух параллельных плоскостей, — это средняя плоскость между ними. Она проходит через середину отрезка $$O_1O_2$$, соединяющего центры оснований призмы. Следовательно, центр сферы лежит на этом отрезке и делит его пополам.

Итак, центром вписанной сферы является середина отрезка $$O_1O_2$$.

Ответ

Центр вписанной сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры оснований правильной призмы.