Упр.425 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Пусть сфера касается плоскостей оснований правильной призмы в точках, равноудалённых от этих плоскостей. Тогда центр сферы должен лежать на прямой, перпендикулярной основаниям призмы и проходящей через центр основания, так как он равноудалён от всех точек окружности, в которую вписано основание.

Обозначим центры оснований призмы через $$O$$ и $$O_1$$. Так как призма правильная, то её боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а центры оснований лежат на одной прямой $$OO_1$$, перпендикулярной плоскостям оснований.

Центр вписанной сферы должен быть равноудалён от обеих плоскостей оснований. Следовательно, он лежит на середине отрезка $$OO_1$$, то есть в точке, равноудалённой от центров оснований.

Итак, центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований правильной призмы.