Упр.424 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В усечённый конус вписана правильная усечённая $$n$$-угольная пирамида (то есть основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса). Радиусы оснований усечённого конуса равны $$2\text{ см}$$ и $$5\text{ см}$$, а высота равна $$4\text{ см}$$. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$R=5$$ см и $$r=2$$ см, высоту через $$h=4$$ см. В правильной усечённой $$n$$-угольной пирамиде основания — правильные $$n$$-угольники, вписанные в окружности радиусов $$R$$ и $$r$$.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны нижнего и верхнего оснований пирамиды. Тогда для правильного $$n$$-угольника

$$a=2R\sin\frac{\pi}{n}, \qquad b=2r\sin\frac{\pi}{n}.$$

Боковая грань пирамиды — равнобедренная трапеция. Её высота равна апофеме усечённого конуса, то есть

$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}=\sqrt{4^2+(5-2)^2}=5.$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_1=\frac{a+b}{2}\cdot l.$$

Так как граней $$n$$, то боковая поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=n\cdot \frac{a+b}{2}\cdot l.$$

Полная поверхность:

$$S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн, ниж}}+S_{\text{осн, верх}}.$$

а) $$n=3$$

$$a=2\cdot 5\sin\frac{\pi}{3}=5\sqrt{3}, \qquad b=2\cdot 2\sin\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}.$$

$$S_{\text{бок}}=3\cdot \frac{5\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}\cdot 5=\frac{105\sqrt{3}}{2}.$$

Площади оснований:

$$S_{\text{осн, ниж}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 75=\frac{225\sqrt{3}}{4},$$

$$S_{\text{осн, верх}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 12=9\sqrt{3}.$$

Тогда

$$S=\frac{105\sqrt{3}}{2}+\frac{225\sqrt{3}}{4}+9\sqrt{3}=\frac{543\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2.$$

б) $$n=4$$

$$a=2\cdot 5\sin\frac{\pi}{4}=5\sqrt{2}, \qquad b=2\cdot 2\sin\frac{\pi}{4}=2\sqrt{2}.$$

$$S_{\text{бок}}=4\cdot \frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot 5=70\sqrt{2}.$$

Площади оснований:

$$S_{\text{осн, ниж}}=a^2=50,\qquad S_{\text{осн, верх}}=b^2=8.$$

Следовательно,

$$S=70\sqrt{2}+50+8=70\sqrt{2}+58\ \text{см}^2.$$

в) $$n=6$$

$$a=2\cdot 5\sin\frac{\pi}{6}=5, \qquad b=2\cdot 2\sin\frac{\pi}{6}=2.$$

$$S_{\text{бок}}=6\cdot \frac{5+2}{2}\cdot 5=\frac{210}{2}=105.$$

Площади оснований правильных шестиугольников:

$$S_{\text{осн, ниж}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{75\sqrt{3}}{2},$$

$$S_{\text{осн, верх}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2=6\sqrt{3}.$$

Тогда

$$S=105+\frac{75\sqrt{3}}{2}+6\sqrt{3}=105+\frac{87\sqrt{3}}{2}\ \text{см}^2.$$

Ответ: а) $$\frac{543\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2$$; б) $$70\sqrt{2}+58\ \text{см}^2$$; в) $$105+\frac{87\sqrt{3}}{2}\ \text{см}^2$$.