Упр.423 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В конус высотой $$12\ \text{см}$$ вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Подробный ответ

Пусть $$SO=12$$ см — высота конуса, а основание пирамиды — прямоугольник $$ABCD$$ со сторонами $$6$$ см и $$8$$ см. Центр прямоугольника обозначим через $$O$$.

Найдём радиус основания конуса. Диагональ прямоугольника:

$$BD=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10,$$

значит,

$$r=\frac{BD}{2}=5.$$

Площадь полной поверхности конуса:

$$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13,$$

$$S_{\text{кон}}=\pi r^2+\pi rl=\pi\cdot 25+\pi\cdot 5\cdot 13=25\pi+65\pi=90\pi.$$

Найдём площадь полной поверхности пирамиды. Так как вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а боковые рёбра идут к вершинам прямоугольника, то боковые грани пирамиды — четыре равных треугольника. Рассмотрим, например, грань с основанием $$AB=8$$.

Расстояние от центра прямоугольника до стороны $$AB$$ равно половине другой стороны:

$$OK=\frac{6}{2}=3.$$

Тогда высота боковой грани:

$$SK=\sqrt{SO^2+OK^2}=\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}.$$

Площадь двух граней с основанием $$AB$$ и $$CD$$:

$$2\cdot \frac12\cdot 8\cdot 3\sqrt{17}=24\sqrt{17}.$$

Теперь для граней с основанием $$BC=6$$:

$$OL=\frac{8}{2}=4,$$

$$SL=\sqrt{SO^2+OL^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$

Площадь двух остальных граней:

$$2\cdot \frac12\cdot 6\cdot 4\sqrt{10}=24\sqrt{10}.$$

Следовательно, полная поверхность пирамиды равна