Упр.422 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы* проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть треугольная призма $$ABC A_1B_1C_1$$ вписана в цилиндр, а одна из её боковых граней проходит через ось цилиндра. Без ограничения общности рассмотрим грань $$ABB_1A_1$$.

Так как призма вписана в цилиндр, то её основания лежат в параллельных плоскостях, а вершины $$A, B, C$$ и $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на окружностях оснований цилиндра. Поскольку грань $$ABB_1A_1$$ проходит через ось цилиндра, отрезок $$AB$$ является диаметром окружности основания цилиндра.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ угол, опирающийся на диаметр $$AB$$, прямой:

$$\angle ACB=90^\circ.$$

Следовательно, $$BC \perp AC$$.

Кроме того, боковые рёбра призмы параллельны оси цилиндра, значит $$CC_1 \perp (ABC)$$. Поэтому прямая $$CC_1$$ перпендикулярна любой прямой плоскости основания, в частности $$BC \perp CC_1$$.

Прямые $$BC$$ и $$CC_1$$ лежат в плоскости $$BCC_1B_1$$ и пересекаются. Так как $$AC$$ перпендикулярна обеим этим прямым, то

$$AC \perp (BCC_1B_1).$$

Но плоскость $$ACC_1A_1$$ содержит прямую $$AC$$ и прямую $$CC_1$$, а плоскость $$BCC_1B_1$$ содержит прямую $$BC$$ и прямую $$CC_1$$. Следовательно, плоскости $$ACC_1A_1$$ и $$BCC_1B_1$$ взаимно перпендикулярны.

Итак, две грани призмы, не проходящие через ось цилиндра, взаимно перпендикулярны.