Упр.422 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.

Пусть основание призмы $$ABC$$ вписано в основание цилиндра, а одна из боковых граней проходит через ось цилиндра. Обозначим эту грань через $$ABB_1A_1$$.

Так как грань $$ABB_1A_1$$ проходит через ось цилиндра, то хорда $$AB$$ основания цилиндра проходит через центр окружности основания. Значит, $$AB$$ — диаметр этой окружности.

Тогда по теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой:

$$\angle ACB=90^\circ.$$

Следовательно, $$BC\perp AC$$. Кроме того, образующие цилиндра перпендикулярны плоскости основания, значит

$$CC_1\perp (ABC).$$

Так как прямая $$CC_1$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AC$$ и $$BC$$, лежащим в плоскости $$ABC$$, то

$$CC_1\perp (ABC).$$

По признаку перпендикулярности двух плоскостей плоскость $$ACC_1A_1$$ перпендикулярна плоскости $$BCC_1B_1$$.

Значит, две другие грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны.