Упр.421 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Пусть $$R$$ — радиус внешней сферы, а $$r$$ — радиус внутренней сферы.

Если сечение тела проходит через центры сфер, то оно представляет собой кольцо с площадью

$$S_1=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Рассмотрим теперь сечение плоскостью, касательной к внутренней сфере. Расстояние от центра сфер до этой плоскости равно $$r$$, поэтому радиус окружности сечения внешней сферы равен

$$x=\sqrt{R^2-r^2}$$

по теореме Пифагора.

Тогда площадь сечения равна

$$S_2=\pi x^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Следовательно,

$$S_1=S_2.$$

Значит, площадь сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.