Упр.421 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус внешней сферы, $$r$$ — радиус внутренней сферы, $$O$$ — их общий центр.

Рассмотрим сечение тела плоскостью, проходящей через центр $$O$$. Эта плоскость пересекает внешнюю сферу по окружности радиуса $$R$$, а внутреннюю — по окружности радиуса $$r$$. Значит, сечение тела представляет собой кольцо, и его площадь равна

$$S_1=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Теперь рассмотрим плоскость, касательную к внутренней сфере. Пусть она касается внутренней сферы в точке $$A$$, а $$OA\perp$$ этой плоскости. Тогда расстояние от центра $$O$$ до плоскости равно $$r$$.

Эта плоскость пересекает внешнюю сферу по окружности радиуса $$x$$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$R$$ и катетами $$r$$ и $$x$$ получаем:

$$x^2=R^2-r^2,$$

откуда

$$x=\sqrt{R^2-r^2}.$$

Следовательно, площадь сечения внешней сферы этой плоскостью равна

$$S_2=\pi x^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Итак,

$$S_1=S_2.$$

Значит, площадь сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.