Упр.420 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Вне сферы радиуса $$10\ \text{см}$$ дана точка $$M$$ на расстоянии $$16\ \text{см}$$ от ближайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой удалены от точки $$M$$ на расстояние $$24\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$R=10$$ см. Обозначим через $$A$$ ближайшую к точке $$M$$ точку сферы. Тогда

$$OM=OA+AM=10+16=26\text{ см}.$$

Пусть $$B$$ — точка искомой окружности на сфере, а $$C$$ — её центр, лежащий на прямой $$OM$$. Тогда $$CB\perp OM$$, и в прямоугольных треугольниках $$OCB$$ и $$MCB$$ имеем:

$$OB^2=OC^2+CB^2,$$

$$MB^2=MC^2+CB^2.$$

Так как $$OB=10$$ см, $$MB=24$$ см, а $$MC=OM-OC=26-OC$$, получаем систему:

$$\begin{cases} OC^2+CB^2=100,\\ (26-OC)^2+CB^2=576. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(26-OC)^2-OC^2=476,$$

$$676-52OC=476,$$

$$52OC=200,\qquad OC=\frac{50}{13}.$$

Тогда

$$CB^2=100-\left(\frac{50}{13}\right)^2 =100-\frac{2500}{169} =\frac{14400}{169},$$

значит

$$CB=\frac{120}{13}\text{ см}.$$