Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.42 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На продолжении за точку В диаметра АВ окружности отложен отрезок ВС, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку С, касается окружности в точке М. Найдите площадь треугольника АСМ, если радиус окружности равен R.

Так как прямая, проходящая через точку $$C$$, касается окружности в точке $$M$$, то радиус $$OM$$ перпендикулярен касательной:

$$\angle OMC=90^\circ.$$

По условию $$AB$$ — диаметр окружности, значит $$AB=2R$$. Точка $$C$$ лежит на продолжении диаметра за точку $$B$$, причём $$BC=AB=2R$$. Тогда

$$OC=OB+BC=R+2R=3R.$$

В прямоугольном треугольнике $$OMC$$ по теореме Пифагора:

$$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{(3R)^2-R^2}=\sqrt{9R^2-R^2}=\sqrt{8R^2}=2R\sqrt{2}.$$

Найдём синус угла $$\angle OCM$$:

$$\sin \angle OCM=\frac{OM}{OC}=\frac{R}{3R}=\frac13.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACM$$. Его площадь выразим через две стороны и синус угла между ними:

$$S_{ACM}=\frac12 \cdot AC \cdot CM \cdot \sin \angle OCM.$$

Так как $$AC=AB+BC=2R+2R=4R$$, получаем

$$S_{ACM}=\frac12 \cdot 4R \cdot 2R\sqrt{2}\cdot \frac13=\frac{4\sqrt{2}}{3}R^2.$$

Ответ

$$\frac{4\sqrt{2}}{3}R^2$$