Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.42 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На продолжении за точку B диаметра AB окружности отложен отрезок BC, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку C, касается окружности в точке M. Найдите площадь треугольника ACM, если радиус окружности равен $$R$$.

Так как прямая $$CM$$ касается окружности в точке $$M$$, то радиус $$OM$$ перпендикулярен касательной:

$$\angle OMC=90^\circ.$$

По условию $$AB$$ — диаметр окружности, значит $$AB=2R$$. Кроме того, $$BC=AB=2R$$, поэтому

$$OC=OB+BC=R+2R=3R.$$

В прямоугольном треугольнике $$OMC$$ по теореме Пифагора:

$$CM=\sqrt{OC^2-OM^2} =\sqrt{(3R)^2-R^2} =\sqrt{9R^2-R^2} =\sqrt{8R^2} =2R\sqrt{2}.$$

Найдём синус угла $$\angle OCM$$:

$$\sin \angle OCM=\frac{OM}{OC}=\frac{R}{3R}=\frac13.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACM$$. Так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle ACM=\angle OCM$$. Тогда площадь треугольника:

$$S_{ACM}=\frac12 \cdot AC \cdot CM \cdot \sin \angle OCM.$$

Здесь $$AC=AB+BC=2R+2R=4R$$, значит

$$S_{ACM} =\frac12 \cdot 4R \cdot 2R\sqrt{2}\cdot \frac13 =\frac{4\sqrt{2}}{3}R^2.$$

Ответ: $$\frac{4\sqrt{2}}{3}R^2$$.