Упр.419 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ лежат на сфере радиуса $$R$$, причём $$\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=2\varphi$$, $$AD=BD=CD$$. Найдите:
а) $$AB$$ и $$AD$$;
б) площадь сечения сферы плоскостью $$ABC$$.

Подробный ответ

Обозначим $$AD=BD=CD=x,$$ $$AB=a.$$

Так как $$AD=BD=CD,$$ то точка $$D$$ равноудалена от точек $$A,B,C$$. Следовательно, прямая, проходящая через центр сферы и точку $$D,$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$. Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$K$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$K$$ — центр окружности, описанной около $$\triangle ABC,$$ и $$KA=KB=KC=r.$$

Из равенства $$\triangle DKA \cong \triangle DKB \cong \triangle DKC$$ получаем, что $$KA=KB=KC.$$

Рассмотрим треугольник $$ADB.$$ По условию $$\angle ADB=2\varphi,$$ а так как $$AD=BD,$$ то

$$\angle DAB=\angle DBA=\frac{180^\circ-2\varphi}{2}=90^\circ-\varphi.$$

По теореме синусов в $$\triangle ADB$$:

$$\frac{a}{\sin 2\varphi}=\frac{x}{\sin(90^\circ-\varphi)}=\frac{x}{\cos\varphi}.$$

Отсюда

$$a=2x\sin\varphi.$$

Теперь в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC=CA=a,$$ значит $$\triangle ABC$$ равносторонний. Тогда его радиус описанной окружности равен

$$r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADK$$ и $$AOK$$. Так как $$DK\perp ABC,$$ то

$$DK^2=x^2-r^2,$$

а поскольку $$OA=R,$$ то

$$OK^2=R^2-r^2.$$

Так как точки $$D,K,O$$ лежат на одной прямой, то

$$DK+KO=DO=R.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{R^2-r^2}=R.$$

Подставляя $$r=\dfrac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}},$$ получаем после преобразований

$$x^2=4R^2\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\varphi\right).$$

Значит,

$$AD=x=2R\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}}.$$

Тогда

$$AB=a=2x\sin\varphi=4R\sin\varphi\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}}.$$

Площадь сечения сферы плоскостью $$ABC$$ равна площади круга радиуса $$r$$:

$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}\right)^2.$$

Подставляя найденное $$x,$$ получаем

$$S=\frac{16}{3}\pi R^2\sin^2\varphi\left(3-4\sin^2\varphi\right).$$

Ответ: $$AD=2R\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}},$$ $$AB=4R\sin\varphi\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}},$$ $$S=\frac{16}{3}\pi R^2\sin^2\varphi\left(3-4\sin^2\varphi\right).$$