Упр.418 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра.

а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны $$R$$, а расстояние между их центрами равно $$1{,}6Д$$.

Расположим центры сфер в точках $$O$$ и $$O_1$$ так, чтобы прямая $$OO_1$$ была осью $$Oy$$, а середина отрезка $$OO_1$$ совпадала с началом координат. Тогда уравнения сфер можно записать так:

$$x^2+y^2+z^2=R^2,$$

$$x^2+(y-d)^2+z^2=R^2,$$

где $$d=OO_1$$.

Вычтем первое уравнение из второго:

$$x^2+(y-d)^2+z^2-\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)=0,$$

$$y^2-2dy+d^2-y^2=0,$$

$$2dy-d^2=0,$$

$$y=\frac d2.$$

Значит, все общие точки сфер лежат в плоскости $$y=\frac d2$$, то есть в плоскости, перпендикулярной прямой $$OO_1$$ и проходящей через её середину. Пересечение этой плоскости с каждой сферой — окружность, следовательно, пересечение двух сфер есть окружность.

Найдём её радиус. Подставим $$y=\frac d2$$ в уравнение первой сферы:

$$x^2+\left(\frac d2\right)^2+z^2=R^2,$$

$$x^2+z^2=R^2-\frac{d^2}{4}.$$

Это и есть уравнение окружности пересечения, поэтому её радиус равен

$$r=\sqrt{R^2-\frac{d^2}{4}}.$$

Если $$d=1{,}6R$$, то

$$r=\sqrt{R^2-\frac{(1{,}6R)^2}{4}}=\sqrt{R^2-\frac{2{,}56R^2}{4}}=\sqrt{R^2-0{,}64R^2}=\sqrt{0{,}36R^2}=0{,}6R.$$

Ответ: а) пересечение сфер — окружность; б) $$r=0{,}6R$$.