Упр.417 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.
Пусть прямоугольники $$ABCD$$ и $$ABEF$$ имеют общую сторону $$AB$$ и лежат в различных плоскостях.
Проведём через точку $$A$$ прямую $$m \perp (ABEF)$$. Через точку $$B$$ проведём прямую $$l \perp (ABCD)$$. Так как $$AB \perp AD$$ и $$AB \perp AE$$, то плоскости $$ABCD$$ и $$ABEF$$ взаимно перпендикулярны, а их линии пересечения с плоскостью, перпендикулярной $$AB$$, будут взаимно перпендикулярны.
Пусть $$Q$$ — точка пересечения прямой $$m$$ с плоскостью $$ABEF$$, а $$O$$ — точка пересечения прямой $$l$$ с плоскостью $$ABCD$$. Тогда $$QA=QB=QE=QF$$ и $$OA=OB=OC=OD$$, то есть точки $$Q$$ и $$O$$ — центры окружностей, описанных около прямоугольников $$ABEF$$ и $$ABCD$$ соответственно.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $$O$$ и $$Q$$ и перпендикулярную прямой $$AB$$. В этой плоскости проведём окружность с центром в точке $$S$$, проходящую через точки $$O$$ и $$Q$$. Тогда
$$SO=SQ.$$
Так как $$OA=OB$$ и $$QA=QB$$, то точки $$O$$ и $$Q$$ равноудалены от концов отрезка $$AB$$. Следовательно, прямая $$OQ$$ лежит в плоскости, перпендикулярной $$AB$$, и точка $$S$$ равноудалена от всех вершин прямоугольника $$ABCD$$ и от всех вершин прямоугольника $$ABEF$$.
Действительно, из равенств $$SA=SB$$ и $$SO=SQ$$ получаем, что
$$SA=SB=SC=SD,$$
и аналогично
$$SA=SB=SE=SF.$$
Значит, все шесть точек $$A,B,C,D,E,F$$ лежат на одной сфере с центром в точке $$S$$.
Ответ: все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.
