Упр.416 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка $$A$$ лежит на радиусе данной сферы с центром $$O$$ и делит этот радиус в отношении $$1:2$$, считая от центра сферы. Через точку $$A$$ проведена плоскость $$\alpha$$ так, что радиус сферы с центром $$O$$, касающейся плоскости $$\alpha$$, в $$6$$ раз меньше радиуса данной сферы. Найдите:
а) угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$;
б) отношение площади сечения данной сферы плоскостью $$\alpha$$ к площади самой сферы.

Подробный ответ

Пусть радиус данной сферы равен $$R.$$ Тогда по условию точка $$A$$ делит радиус $$OA$$ в отношении $$1:2$$, считая от центра, значит

$$OA=\frac{1}{3}R.$$

Обозначим через $$P$$ основание перпендикуляра, опущенного из центра $$O$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$OP$$ — расстояние от центра сферы до плоскости $$\alpha$$, а сфера, касающаяся этой плоскости, имеет радиус $$OP.$$ По условию этот радиус в 6 раз меньше радиуса данной сферы, значит

$$OP=\frac{R}{6}.$$

Так как точка $$A$$ лежит на радиусе, проведённом к плоскости, то угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу $$\angle OAP$$ в прямоугольном треугольнике $$OAP$$. Имеем

$$\sin \angle OAP=\frac{OP}{OA}=\frac{R/6}{R/3}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle OAP=30^\circ.$$

Это и есть угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$.

Теперь найдём площадь сечения. Сечение сферы плоскостью $$\alpha$$ — окружность радиуса $$AP$$. В прямоугольном треугольнике $$OAP$$

$$AP^2=OA^2-OP^2=\left(\frac{R}{3}\right)^2-\left(\frac{R}{6}\right)^2=\frac{R^2}{9}-\frac{R^2}{36}=\frac{R^2}{12}.$$

Значит,

$$S_{\text{сеч}}=\pi AP^2=\pi\cdot \frac{R^2}{12}.$$

Площадь поверхности сферы равна

$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2.$$

Тогда искомое отношение

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{сф}}}=\frac{\pi R^2/12}{4\pi R^2}=\frac{1}{48}.$$