Упр.415 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Вершины прямоугольного треугольника с катетами $$1{,}8\ \text{см}$$ и $$2{,}4\ \text{см}$$ лежат на сфере.
а) Докажите, что если радиус сферы равен $$1{,}5\ \text{см}$$, то центр сферы лежит в плоскости треугольника.
б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен $$6{,}5\ \text{см}$$.
Найдём длину гипотенузы прямоугольного треугольника:
$$c=\sqrt{1{,}8^2+2{,}4^2}=\sqrt{3{,}24+5{,}76}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$
Радиус сферы равен $$1{,}5\text{ см},$$ значит её диаметр равен
$$2R=2\cdot 1{,}5=3\text{ см}.$$
Следовательно, гипотенуза треугольника равна диаметру сферы. Тогда центр сферы лежит на середине гипотенузы, а так как середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин, то центр сферы находится в плоскости треугольника.
Теперь рассмотрим случай $$R=6{,}5\text{ см}.$$ Пусть $$K$$ — центр окружности, по которой плоскость треугольника пересекает сферу. Тогда $$K$$ — середина гипотенузы $$AC,$$ а $$OK$$ — расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.
Так как $$AC=3\text{ см},$$ то
$$AK=KC=\frac{AC}{2}=1{,}5\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$OKA$$ по теореме Пифагора получаем:
$$OK=\sqrt{OA^2-AK^2} =\sqrt{6{,}5^2-1{,}5^2} =\sqrt{42{,}25-2{,}25} =\sqrt{40} =2\sqrt{10}\text{ см}.$$
Ответ: а) центр сферы лежит в плоскости треугольника; б) $$2\sqrt{10}\text{ см}$$.
