Упр.414 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

а) Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$A$$ и $$A_1$$ — любые две точки сферы, симметричные относительно точки $$O$$. Тогда точка $$O$$ является серединой отрезка $$AA_1$$, значит, $$OA=OA_1$$. Но $$OA$$ — радиус сферы, следовательно, $$OA_1$$ тоже равно радиусу сферы. Значит, точка $$A_1$$ лежит на сфере.

Итак, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ сфера переходит сама в себя. Следовательно, центр сферы является центром симметрии сферы.

б) Пусть прямая $$a$$ проходит через центр сферы $$O$$. Возьмём произвольную точку $$A$$ сферы и построим точку $$A_1$$, симметричную ей относительно прямой $$a$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA_1$$, а значит, $$OA=OA_1$$, поскольку точки $$O$$ и $$A$$, $$A_1$$ расположены симметрично относительно прямой $$a$$.

Так как $$OA=R$$, то $$OA_1=R$$, следовательно, $$A_1$$ тоже лежит на сфере. Значит, при отражении относительно прямой $$a$$ сфера переходит сама в себя. Поэтому любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы.

в) Пусть плоскость $$\alpha$$ проходит через центр сферы $$O$$. Возьмём произвольную точку $$A$$ сферы и построим точку $$A_1$$, симметричную ей относительно плоскости $$\alpha$$. Тогда отрезок $$AA_1$$ перпендикулярен плоскости $$\alpha$$, а точка $$O$$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $$OA=OA_1$$.

Но $$OA=R$$, значит, $$OA_1=R$$, и точка $$A_1$$ также принадлежит сфере. Следовательно, при отражении относительно плоскости $$\alpha$$ сфера переходит сама в себя. Значит, любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

Ответ

а) Центр сферы является центром симметрии сферы.
б) Любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы.
в) Любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.