Упр.414 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

Подробный ответ

Пусть сфера имеет центр $$O$$ и радиус $$R$$.

а)

Возьмём любую точку $$A$$ сферы и проведём через центр $$O$$ прямую, на которой лежит точка, симметричная $$A$$ относительно $$O$$. Обозначим её $$A_1$$.

Тогда $$OA=R,\qquad OA_1=R,$$

то есть точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат на сфере. При центральной симметрии относительно точки $$O$$ каждая точка сферы переходит в точку той же сферы. Значит, центр сферы является центром симметрии сферы.

б)

Пусть прямая $$a$$ проходит через центр сферы $$O$$. Возьмём произвольную точку $$A$$ сферы и построим её симметричную точку $$A_1$$ относительно прямой $$a$$.

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра из $$A$$ на прямую $$a$$. Тогда при осевой симметрии относительно $$a$$ точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$ так, что $$AK= A_1K,\qquad OK=OK,$$

следовательно, треугольники $$AKO$$ и $$A_1KO$$ равны, откуда $$OA=OA_1.$$

Так как $$OA=R,$$ то и $$OA_1=R,$$ значит, точка $$A_1$$ тоже лежит на сфере. Следовательно, при симметрии относительно прямой $$a$$ сфера переходит в себя, а прямая $$a$$ является осью симметрии сферы.

в)

Пусть плоскость $$\alpha$$ проходит через центр сферы $$O$$. Возьмём произвольную точку $$A$$ сферы и построим её симметричную точку $$A_1$$ относительно плоскости $$\alpha$$.

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра из $$A$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда точка $$K$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а при отражении относительно этой плоскости точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$ так, что $$AK=A_1K,\qquad OK=OK.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$A_1KO$$. Они равны по двум катетам, поэтому $$OA=OA_1.$$

Так как $$OA=R,$$ то $$OA_1=R,$$ значит, точка $$A_1$$ лежит на сфере. Следовательно, при симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ сфера переходит в себя, а любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.