Упр.413 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно $$40\ \text{см}$$, а его площадь равна $$36\ \text{дм}^2$$. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса.
Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой основания равны диаметрам оснований усечённого конуса, а боковые стороны — образующим.
Пусть меньшее основание трапеции равно $$2r$$, большее — $$2R$$. По условию одно из оснований осевого сечения равно $$40\text{ см}$$, значит соответствующий радиус равен $$20\text{ см}$$.
Площадь осевого сечения равна $$36\text{ дм}^2=3600\text{ см}^2$$. Диагонали осевого сечения перпендикулярны, значит для трапеции площадь равна половине произведения оснований:
$$S=\frac{(2R+2r)h}{2}=36\text{ дм}^2,$$
а при перпендикулярных диагоналях высота трапеции равна среднему геометрическому оснований, то есть
$$h^2=Rr.$$
Из условия и рисунка получаем $$2R=80\text{ см}$$, $$2r=40\text{ см}$$, то есть
$$R=40\text{ см},\qquad r=20\text{ см}.$$
Тогда
$$h^2=Rr=40\cdot 20=800,$$
$$h=20\sqrt2\text{ см}.$$
Образующая усечённого конуса:
$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}=\sqrt{800+20^2}=\sqrt{1200}=20\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
$$S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l=\pi(40+20)\cdot 20\sqrt3=1200\pi\sqrt3\text{ см}^2.$$
Площади оснований:
$$S_1=\pi R^2=\pi\cdot 40^2=1600\pi\text{ см}^2,$$
$$S_2=\pi r^2=\pi\cdot 20^2=400\pi\text{ см}^2.$$
Полная поверхность:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_1+S_2=1200\pi\sqrt3+1600\pi+400\pi=1200\pi\sqrt3+2000\pi\text{ см}^2.$$
Ответ: $$S_{\text{бок}}=1200\pi\sqrt3\text{ см}^2,\quad S_{\text{полн}}=1200\pi\sqrt3+2000\pi\text{ см}^2.$$
