Упр.412 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса равна $$4\ \text{см}$$, а радиус основания равен $$3\ \text{см}$$. Вычислите площадь полной поверхности правильной $$n$$-угольной пирамиды, вписанной в конус, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$.

Обозначим через $$P$$ вершину конуса, через $$O$$ — центр основания, через $$A_1A_2\dots A_n$$ — основание вписанной правильной $$n$$-угольной пирамиды. Тогда $$PO=4$$ см, а радиус основания конуса $$R=3$$ см.

Высота пирамиды совпадает с высотой конуса, то есть равна $$4$$ см. Боковые рёбра пирамиды проходят по образующим конуса, поэтому вершина $$P$$ соединена с вершинами основания пирамиды.

а) $$n=3$$

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, вписанный в окружность радиуса $$3$$ см. Для равностороннего треугольника

$$a=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}.$$

Апофема основания равна радиусу вписанной окружности:

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{3}{2}.$$

Тогда апофема пирамиды

$$l=\sqrt{PO^2+r^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}.$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}Pl=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot l=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{73}}{2}=\frac{9\sqrt{219}}{4}.$$

Следовательно, полная поверхность:

$$S_{\text{полн}}=\frac{27\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{219}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\,(3+\sqrt{73}).$$

б) $$n=4$$

Основание — квадрат, вписанный в окружность радиуса $$3$$ см. Тогда диагональ квадрата равна диаметру окружности:

$$a\sqrt{2}=6,\qquad a=3\sqrt{2}.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=a^2=(3\sqrt{2})^2=18.$$

Расстояние от центра квадрата до его стороны:

$$r=\frac{a}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Апофема пирамиды:

$$l=\sqrt{PO^2+r^2}=\sqrt{16+\frac{18}{4}}=\sqrt{\frac{41}{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}.$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot l=2a l=2\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{82}}{2}=6\sqrt{41}.$$

Тогда

$$S_{\text{полн}}=18+6\sqrt{41}.$$

в) $$n=6$$

Основание — правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $$3$$ см. Для него сторона равна радиусу:

$$a=3.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}.$$

Апофема правильного шестиугольника:

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Апофема пирамиды:

$$l=\sqrt{PO^2+r^2}=\sqrt{16+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{91}{4}}=\frac{\sqrt{91}}{2}.$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot 6a\cdot l=3a l=3\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{91}}{2}=\frac{9\sqrt{91}}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{полн}}=\frac{27\sqrt{3}}{2}+\frac{9\sqrt{91}}{2}=\frac{9}{2}\,(\,3\sqrt{3}+\sqrt{91}\,).$$

Ответ: а) $$\frac{9\sqrt{3}}{4}(3+\sqrt{73})$$; б) $$18+6\sqrt{41}$$; в) $$\frac{9}{2}(3\sqrt{3}+\sqrt{91})$$.