Упр.411 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Равнобедренная трапеция, основания которой равны $$6\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$, а острый угол $$60^\circ$$, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела.

Подробный ответ

Пусть равнобедренная трапеция $$ABCD$$ вращается вокруг большего основания $$AD$$, где $$AD=10\text{ см},\quad BC=6\text{ см},\quad \angle A=60^\circ.$$

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на основание $$AD$$. Тогда из равнобедренности трапеции

$$AM=ND=\frac{AD-BC}{2}=\frac{10-6}{2}=2\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABM$$ имеем

$$\cos 60^\circ=\frac{AM}{AB},$$
$$AB=\frac{AM}{\cos 60^\circ}=\frac{2}{1/2}=4\text{ см}.$$

Высота трапеции равна

$$BM=AB\sin 60^\circ=4\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\text{ см}.$$

При вращении трапеции вокруг $$AD$$ получаем тело, состоящее из цилиндра и двух равных конусов.

Радиус цилиндра и оснований конусов:

$$r=BM=2\sqrt3\text{ см}.$$

Длина цилиндрической части равна $$BC=6$$ см, а образующая каждого конуса равна $$AB=4$$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{цил}}=2\pi r\cdot BC=2\pi\cdot 2\sqrt3\cdot 6=24\sqrt3\pi.$$