Упр.411 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела.

Подробный ответ

При вращении равнобедренной трапеции вокруг большего основания получается тело, состоящее из цилиндра и двух одинаковых конусов.

Пусть основания трапеции равны $$10\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$, а острый угол равен $$60^\circ$$. Тогда половина разности оснований равна

$$ AM=ND=\frac{10-6}{2}=2\text{ см}. $$

Из прямоугольного треугольника $$ABM$$ находим боковую сторону трапеции:

$$ AB=\frac{AM}{\cos 60^\circ}=\frac{2}{\frac12}=4\text{ см}. $$

Высота трапеции, а значит и радиус цилиндра, равна

$$ BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ см}. $$

Тогда боковая поверхность цилиндра:

$$ S_{\text{цил}}=2\pi r h=2\pi\cdot 2\sqrt{3}\cdot 6=24\sqrt{3}\pi. $$

Каждый из двух конусов имеет радиус $$r=2\sqrt{3}$$ и образующую $$l=AB=4$$, поэтому боковая поверхность одного конуса:

$$ S_{\text{кон}}=\pi r l=\pi\cdot 2\sqrt{3}\cdot 4=8\sqrt{3}\pi. $$