Упр.410 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$ вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получаются два конуса с общей основанием. Их общая окружность имеет радиус $$r$$, равный высоте треугольника, опущенной на гипотенузу.

Пусть катеты треугольника равны $$a$$ и $$b$$, тогда гипотенуза

$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Обозначим через $$r$$ расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы. Тогда из равенства площадей треугольника:

$$\frac12 ab=\frac12 c\cdot r,$$

откуда

$$r=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Образующие полученных конусов равны катетам треугольника, то есть один конус имеет образующую $$a$$, другой — $$b$$. Поэтому площадь боковой поверхности первого конуса:

$$S_1=\pi r a=\pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot a,$$

а второго:

$$S_2=\pi r b=\pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot b.$$

Тогда полная площадь поверхности тела равна сумме боковых поверхностей двух конусов:

$$S=S_1+S_2=\pi \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}(a+b).$$

Ответ: $$\pi \dfrac{ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$