Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.41 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите площадь трапеции с основаниями, равными 18 и 13, и боковыми сторонами, равными 3 и 4.

Обозначим высоту трапеции $$BH$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на основание $$AD$$.

Проведём через точку $$B$$ прямую $$BE \parallel CD$$, тогда $$BE=CD=3$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, то отрезок между проекциями боковых сторон на основание равен разности оснований:

$$AE=AD-BC=18-13=5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. По теореме Пифагора:

$$ AE^2=AB^2+BE^2 $$

$$ 5^2=4^2+3^2 $$

Следовательно, треугольник $$ABE$$ прямоугольный, а высота трапеции равна $$BH$$. Найдём её из площади треугольника $$ABE$$:

$$ S_{ABE}=\frac{AB\cdot BE}{2}=\frac{AE\cdot BH}{2} $$

$$ \frac{4\cdot 3}{2}=\frac{5\cdot BH}{2} $$

$$ 12=5BH,\qquad BH=\frac{12}{5} $$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH $$

$$ S_{ABCD}=\frac{18+13}{2}\cdot \frac{12}{5} $$

$$ S_{ABCD}=\frac{31}{2}\cdot \frac{12}{5}=37{,}2 $$

Ответ

$$37{,}2$$