Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.41 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь трапеции с основаниями, равными $$18$$ и $$13$$, и боковыми сторонами, равными $$3$$ и $$4$$.

Обозначим высоту трапеции через $$BH$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на основание $$AD$$.

Проведём через точку $$B$$ прямую $$BE \parallel CD$$, тогда $$BE=CD=3$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. Так как $$AD \parallel BC$$, то

$$AE=AD-BC=18-13=5.$$

По теореме Пифагора:

$$AE^2=AB^2+BE^2,$$

$$5^2=4^2+3^2,$$

откуда треугольник $$ABE$$ прямоугольный, а $$\angle B=90^\circ$$.

Найдём высоту трапеции из площади треугольника $$ABE$$:

$$S_{ABE}=\frac{AB\cdot BE}{2}=\frac{AE\cdot BH}{2}.$$

Тогда

$$\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{5\cdot BH}{2},$$

$$12=5BH,$$

$$BH=\frac{12}{5}.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{18+13}{2}\cdot \frac{12}{5}.$$

$$S=\frac{31}{2}\cdot \frac{12}{5}=37{,}2.$$

Ответ: $$37{,}2$$.