Упр.409 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой $$270^\circ$$.

Пусть $$l$$ — образующая конуса, $$h$$ — его высота, $$\beta$$ — искомый угол между образующей и высотой.

При развертке боковой поверхности конуса получается сектор радиуса $$l$$ с дугой $$270^\circ$$. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, поэтому

$$\frac{r}{l}=\frac{270^\circ}{360^\circ}=\frac34,$$

где $$r$$ — радиус основания конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом основания и образующей конуса. В этом треугольнике

$$\sin \beta=\frac{r}{l}=\frac34.$$

Следовательно,

$$\beta=\arcsin \frac34.$$

Ответ: $$\arcsin \frac34$$.