Упр.408 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в $$120^\circ$$, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в $$45^\circ$$. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен $$4\ \text{см}$$.

Проведём через центр основания $$O$$ перпендикуляр $$OC$$ к хорде $$DB$$. Тогда $$C$$ — середина хорды, а в равнобедренном треугольнике $$DOB$$ имеем $$DC=CB=\dfrac{DB}{2}$$.

Так как хорда $$DB$$ стягивает дугу в $$120^\circ$$, то центральный угол $$\angle DOB=120^\circ$$. По теореме синусов в треугольнике $$DOB$$:

$$\frac{DB}{\sin 120^\circ}=\frac{OB}{\sin 30^\circ}$$
$$DB=\frac{4\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} =\frac{4\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =4\sqrt3$$

Теперь найдём расстояние от центра окружности до хорды:

$$OC=\sqrt{OB^2-DC^2} =\sqrt{4^2-\left(\frac{4\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{16-12}=2$$

Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике с катетами $$OC$$ и $$PC$$:

$$\tan 45^\circ=\frac{OC}{PC}$$
$$PC=\frac{OC}{\tan 45^\circ}=2$$

Сечение — треугольник $$PDB$$. Его площадь:

$$S_{PDB}=\frac12\cdot DB\cdot PC =\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 2 =4\sqrt3$$

Ответ: $$4\sqrt3\ \text{см}^2$$.