Упр.407 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса n равно -. Найдите угол между образующей и плоскостью основа- O ния конуса.

Подробный ответ

Пусть $$CO=h$$ — высота конуса, $$OB=r$$ — радиус основания, $$CB=l$$ — образующая.

Тогда площадь боковой поверхности конуса равна

$$S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi r\sqrt{h^2+r^2},$$

а полная поверхность:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+S_{\text{бок}}=\pi r^2+\pi r\sqrt{h^2+r^2}.$$

По условию

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{полн}}}=\frac{7}{8}.$$

Подставим выражения:

$$\frac{\pi r\sqrt{h^2+r^2}}{\pi r^2+\pi r\sqrt{h^2+r^2}}=\frac{7}{8}.$$

Сократим на $$\pi r$$:

$$\frac{\sqrt{h^2+r^2}}{r+\sqrt{h^2+r^2}}=\frac{7}{8}.$$

Тогда

$$8\sqrt{h^2+r^2}=7r+7\sqrt{h^2+r^2},$$

откуда

$$\sqrt{h^2+r^2}=7r.$$

Возводим в квадрат:

$$h^2+r^2=49r^2,$$

$$h^2=48r^2.$$

Угол между образующей и плоскостью основания равен углу между образующей $$CB$$ и её проекцией $$OB$$ на основание, то есть углу $$\alpha=\angle CBO$$.

В прямоугольном треугольнике $$CBO$$

$$\tan\alpha=\frac{h}{r},$$

поэтому

$$\tan^2\alpha=\frac{h^2}{r^2}=48.$$

Тогда

$$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},$$

значит

$$1+48=\frac{1}{\cos^2\alpha},$$

$$\cos^2\alpha=\frac{1}{49},$$

$$\cos\alpha=\frac{1}{7}.$$

Так как угол $$\alpha$$ острый, получаем

$$\alpha=\arccos\frac{1}{7}.$$