Упр.407 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса $$n$$ равно -. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Пусть $$CO=h$$, $$OB=r$$, $$l$$ — образующая конуса. Тогда

$$l^2=h^2+r^2.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi r\sqrt{h^2+r^2}.$$

Полная поверхность:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+S_{\text{бок}}=\pi r^2+\pi r\sqrt{h^2+r^2}.$$

По условию

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{полн}}}=\frac{7}{8}.$$

Подставим формулы:

$$\frac{\pi r\sqrt{h^2+r^2}}{\pi r^2+\pi r\sqrt{h^2+r^2}}=\frac{7}{8}.$$

Сократим на $$\pi r$$:

$$\frac{\sqrt{h^2+r^2}}{r+\sqrt{h^2+r^2}}=\frac{7}{8}.$$

Тогда

$$8\sqrt{h^2+r^2}=7r+7\sqrt{h^2+r^2},$$

$$\sqrt{h^2+r^2}=7r,$$

$$h^2+r^2=49r^2,$$

$$h^2=48r^2.$$

Угол между образующей и плоскостью основания равен углу между образующей и её проекцией на основание, то есть углу $$\alpha$$ в прямоугольном треугольнике с катетами $$h$$ и $$r$$. Поэтому

$$\tan\alpha=\frac{h}{r}, \qquad \tan^2\alpha=\frac{h^2}{r^2}=48.$$

Тогда

$$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},$$

$$1+48=\frac{1}{\cos^2\alpha},$$

$$\cos^2\alpha=\frac{1}{49}, \qquad \cos\alpha=\frac{1}{7}.$$

Так как угол $$\alpha$$ острый, получаем

$$\alpha=\arccos\frac{1}{7}.$$

Ответ: $$\arccos\frac{1}{7}$$.