Упр.406 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Площадь основания конуса равна $$S_1$$, а площадь боковой поверхности равна $$S_0$$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота, $$l$$ — образующая.

Тогда

$$S_1=\pi r^2,$$

$$S_0=\pi rl.$$

Из прямоугольного треугольника, образующего осевое сечение, имеем

$$l^2=h^2+r^2.$$

Возведём формулы для площадей в квадрат:

$$S_1^2=\pi^2r^4,$$

$$S_0^2=\pi^2r^2l^2=\pi^2r^2(h^2+r^2)=\pi^2r^2h^2+\pi^2r^4.$$

Тогда

$$S_0^2-S_1^2=\pi^2r^2h^2,$$

откуда

$$rh=\frac{\sqrt{S_0^2-S_1^2}}{\pi}.$$

Площадь осевого сечения — это площадь треугольника с основанием $$2r$$ и высотой $$h$$:

$$S_{\text{ос}}=\frac{1}{2}\cdot 2r \cdot h=rh.$$

Следовательно,

$$S_{\text{ос}}=\frac{\sqrt{S_0^2-S_1^2}}{\pi}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{S_0^2-S_1^2}}{\pi}$$