Упр.406 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь основания конуса равна S1, а площадь боковой поверхности равна S0. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота, $$l$$ — образующая.

Тогда площадь основания равна

$$S_1=\pi r^2,$$

а площадь боковой поверхности конуса:

$$S_0=\pi rl.$$

По теореме Пифагора для образующей:

$$l^2=h^2+r^2.$$

Возведём формулу для $$S_0$$ в квадрат:

$$S_0^2=\pi^2r^2l^2=\pi^2r^2(h^2+r^2).$$

Так как $$S_1=\pi r^2$$, то

$$S_1^2=\pi^2r^4.$$

Вычтем:

$$S_0^2-S_1^2=\pi^2r^2h^2.$$

Следовательно,

$$rh=\frac{\sqrt{S_0^2-S_1^2}}{\pi}.$$

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $$2r$$ и высотой $$h$$, поэтому его площадь равна

$$S_{\text{ос}}=\frac{1}{2}\cdot 2r \cdot h=rh.$$

Значит,

$$S_{\text{ос}}=\frac{\sqrt{S_0^2-S_1^2}}{\pi}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{S_0^2-S_1^2}}{\pi}$$