Упр.405 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.

Обозначим вершину конуса через $$D$$, а точки попарно перпендикулярных образующих — через $$B$$, $$C$$ и $$F$$. Пусть $$DB=DC=DF=a$$.

Так как образующие попарно перпендикулярны, то треугольники $$DBC$$, $$DBF$$ и $$DCF$$ прямоугольные, поэтому

$$BC=BF=CF=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Следовательно, основание конуса — равносторонний треугольник со стороной $$a\sqrt{2}$$, а его описанная окружность имеет радиус

$$R=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

В осевом сечении конуса угол при вершине равен $$\angle BDF=\alpha$$, где $$BF=2R$$. Тогда

$$BF=2a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $$BDF$$:

$$BF^2=DB^2+DF^2-2\cdot DB\cdot DF\cdot \cos\alpha.$$

Подставим значения:

$$\left(2a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2=a^2+a^2-2a^2\cos\alpha,$$

$$\frac{8a^2}{3}=2a^2-2a^2\cos\alpha,$$

$$\frac{8}{3}=2-2\cos\alpha,$$

$$-2\cos\alpha=\frac{2}{3}, \qquad \cos\alpha=-\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{1}{3}$$.