Упр.402 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен $$2p$$.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$h$$ и $$2R$$, где $$R$$ — радиус основания цилиндра.

Пусть периметр осевого сечения равен $$2p$$. Тогда

$$2(h+2R)=2p,$$

откуда

$$h+2R=p,\qquad h=p-2R.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{бок}=2\pi Rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S_{бок}=2\pi R(p-2R)=2\pi pR-4\pi R^2.$$

Это квадратичная функция от $$R$$, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$R=\frac{2\pi p}{2\cdot 4\pi}=\frac{p}{4}.$$

Тогда

$$h=p-2R=p-2\cdot \frac{p}{4}=\frac{p}{2}.$$

Следовательно, наибольшая площадь боковой поверхности будет у цилиндра с радиусом $$\frac{p}{4}$$ и высотой $$\frac{p}{2}$$.

Ответ: $$R=\frac{p}{4},\quad h=\frac{p}{2}.$$