Упр.401 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Подробный ответ

Обозначим радиус цилиндра через $$r$$, а его высоту через $$h$$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh.$$

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$. Круг, описанный около этого прямоугольника, имеет радиус, равный половине диагонали прямоугольника. Поэтому

$$R=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+(2r)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+4r^2}.$$

Тогда площадь описанного круга равна

$$S_{\text{кр}}=\pi R^2=\frac{\pi}{4}\left(h^2+4r^2\right).$$

По условию $$S_{\text{бок}}=S_{\text{кр}}$$, значит

$$2\pi rh=\frac{\pi}{4}\left(h^2+4r^2\right).$$

Сократим на $$\pi$$ и умножим на $$4$$:

$$8rh=h^2+4r^2.$$

Разделим на $$h^2$$ и введём отношение $$x=\frac{r}{h}$$:

$$8\frac{r}{h}=1+4\left(\frac{r}{h}\right)^2,$$

$$8x=1+4x^2.$$

Получаем квадратное уравнение

$$4x^2-8x+1=0.$$