Упр.400 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором $$AB:AD=1:2$$.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{полн}}=2\pi rh+2\pi r^2.$$

а) Осевое сечение — квадрат

Если осевое сечение — квадрат со стороной $$a$$, то $$h=a$$, а диаметр основания тоже равен $$a$$, значит $$r=\frac a2$$.

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi \cdot \frac a2 \cdot a=\pi a^2,$$

$$2S_{\text{осн}}=2\pi r^2=2\pi \cdot \frac{a^2}{4}=\frac{\pi a^2}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{полн}}=\pi a^2+\frac{\pi a^2}{2}=\frac{3\pi a^2}{2}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{\pi a^2}=\frac32.$$

б) Осевое сечение — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB:AD=1:2$$

Пусть $$AB=a$$, тогда $$AD=2a$$. В осевом сечении $$AB=h$$, $$AD=2r$$, значит

$$h=a,\qquad 2r=2a,\qquad r=a.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh=2\pi \cdot a \cdot a=2\pi a^2,$$

$$2S_{\text{осн}}=2\pi r^2=2\pi a^2.$$

Следовательно,

$$S_{\text{полн}}=2\pi a^2+2\pi a^2=4\pi a^2,$$

и

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{4\pi a^2}{2\pi a^2}=2.$$

Ответ: а) $$\frac32$$; б) $$2$$.