Упр.400 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором AB : AD = 1 : 2.

Подробный ответ

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2\pi r^2.$$

а) Осевое сечение — квадрат. Значит, его сторона равна и высоте цилиндра, и диаметру основания:

$$h=2r.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2,$$

$$S_{\text{полн}}=4\pi r^2+2\pi r^2=6\pi r^2.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{6\pi r^2}{4\pi r^2}=\frac{3}{2}.$$

б) Пусть в осевом сечении $$ABCD$$ выполнено $$AB:AD=1:2$$. Так как в осевом сечении цилиндра одна сторона равна диаметру основания, а другая — высоте, рассмотрим два возможных случая.

1) $$AB=2r,\ AD=h$$. Тогда из условия $$AB:AD=1:2$$ получаем $$h=2AB=4r$$. Поэтому

$$S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot 4r=8\pi r^2,$$

$$S_{\text{полн}}=8\pi r^2+2\pi r^2=10\pi r^2,$$

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{10\pi r^2}{8\pi r^2}=\frac{5}{4}.$$

2) $$AB=h,\ AD=2r$$. Тогда из условия $$AB:AD=1:2$$ имеем $$h=r$$. Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot r=2\pi r^2,$$

$$S_{\text{полн}}=2\pi r^2+2\pi r^2=4\pi r^2,$$

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{4\pi r^2}{2\pi r^2}=2.$$