Упр.40 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На скрещивающихся прямых $$a$$ и $$b$$ отмечены соответственно точки $$M$$ и $$N$$. Через прямую $$a$$ и точку $$N$$ проведена плоскость $$\alpha$$, а через прямую $$b$$ и точку $$M$$ — плоскость $$\beta$$.
а) Лежит ли прямая $$b$$ в плоскости $$\alpha$$?
б) Пересекаются ли плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.
Пусть $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся прямые, $$M \in a$$, $$N \in b$$. Через прямую $$a$$ и точку $$N$$ проведена плоскость $$\alpha$$, а через прямую $$b$$ и точку $$M$$ — плоскость $$\beta$$.
а) Предположим, что $$b \subset \alpha$$. Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$, что противоречит условию: $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся. Значит, $$b \not\subset \alpha$$.
б) Так как $$M \in a$$ и $$a \subset \alpha$$, то $$M \in \alpha$$. Аналогично, из $$N \in b$$ и $$b \subset \beta$$ получаем $$N \in \beta$$. Следовательно, точки $$M$$ и $$N$$ принадлежат обеим плоскостям, значит, прямая $$MN$$ лежит в каждой из них.
Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не совпадают, так как прямая $$a$$ лежит в $$\alpha$$, но не лежит в $$\beta$$, а прямая $$b$$ лежит в $$\beta$$, но не лежит в $$\alpha$$. Поэтому их пересечение — прямая $$MN$$.
Ответ: $$b \not\subset \alpha$$, $$\alpha \cap \beta = MN$$.
