Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.40 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает в точке D продолжение стороны АВ за точку А, причём AD=2/3AB. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=1.

Обозначим середину стороны $$BC$$ через $$M$$, а основание перпендикуляра из $$B$$ на прямую $$AC$$ — через $$H$$.

Так как окружность построена на стороне $$AC$$ как на диаметре и проходит через точку $$M$$, то $$\angle AMC=90^\circ$$. Значит, $$AM\perp BC$$. Поскольку $$M$$ — середина $$BC$$, прямая $$AM$$ является серединным перпендикуляром к $$BC$$, поэтому $$AB=AC$$.

Из условия $$AC=1$$, следовательно, $$AB=1$$. Тогда

$$AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$. Так как $$D$$ лежит на окружности с диаметром $$AC$$, то $$\angle ADC=90^\circ$$, и

$$ CD=\sqrt{AC^2-AD^2} =\sqrt{1^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{4}{9}} =\frac{\sqrt5}{3}. $$

Теперь рассмотрим треугольники $$BAH$$ и $$CAD$$. У них

$$\angle BHA=90^\circ,\qquad \angle CDA=90^\circ,$$

а также

$$\angle BAH=\angle CAD,$$

потому что лучи $$AB$$ и $$AD$$ лежат на одной прямой, а $$AH$$ и $$AC$$ — на одной прямой. Кроме того, $$AB=AC$$. Следовательно, треугольники $$BAH$$ и $$CAD$$ равны, откуда

$$BH=CD=\frac{\sqrt5}{3}.$$

Тогда площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH =\frac12\cdot 1\cdot \frac{\sqrt5}{3} =\frac{\sqrt5}{6}. $$

Ответ

$$\frac{\sqrt5}{6}$$