Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.40 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Окружность, построенная на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ как на диаметре, проходит через середину стороны $$BC$$ и пересекает в точке $$D$$ продолжение стороны $$AB$$ за точку $$A$$, причём $$AD=\frac{2}{3}AB$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$AC=1$$.

Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а $$H$$ — основание перпендикуляра из $$B$$ на прямую $$AC$$.

Так как окружность построена на стороне $$AC$$ как на диаметре и проходит через точку $$M$$, то $$\angle AMC=90^\circ$$. Значит, $$AM\perp BC$$. Но $$M$$ — середина $$BC$$, следовательно, $$AM$$ является серединным перпендикуляром к $$BC$$, поэтому $$AB=AC$$.

Так как $$AC=1$$, то $$AB=1$$, а из условия $$AD=\frac{2}{3}AB$$ получаем

$$AD=\frac{2}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$. Поскольку $$D$$ лежит на окружности с диаметром $$AC$$, то $$\angle ADC=90^\circ$$, и

$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2} =\sqrt{1^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{4}{9}} =\frac{\sqrt5}{3}.$$

Треугольники $$BAH$$ и $$CAD$$ равны: $$\angle BHA=\angle CDA=90^\circ$$, $$AB=AC$$, $$AH=AD$$. Поэтому соответствующие стороны равны, и

$$BH=CD=\frac{\sqrt5}{3}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH =\frac12\cdot 1\cdot \frac{\sqrt5}{3} =\frac{\sqrt5}{6}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt5}{6}$$.