Исследовательские задачи Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите число попарно неравных друг другу равносторонних треугольников, все вершины которых принадлежат окружностям оснований цилиндра радиуса $$R$$ с высотой $$h$$.

Подробный ответ

Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$, у которого вершины $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности нижнего основания, а вершина $$C$$ — на окружности верхнего основания цилиндра. Пусть $$AB=a$$.

Тогда $$CM\perp AB$$, где $$M$$ — середина стороны $$AB$$, и в равностороннем треугольнике

$$AM=BM=\frac a2,\qquad \angle CAB=60^\circ.$$

Из прямоугольного треугольника $$ACM$$ получаем

$$CM=AC\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$AHB$$, где $$H$$ — точка на окружности нижнего основания, соответствующая вершине $$C$$ по рисунку. Тогда

$$HM=\sqrt{CM^2-CH^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-h^2}=\frac a2\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}.$$

Площадь треугольника $$AHB$$ равна

$$S_{AHB}=\frac{AB\cdot HM}{2}=\frac a2\cdot \frac a2\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}=\frac{a^2}{4}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}.$$

Кроме того,

$$BH=AH=\sqrt{AM^2+HM^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-h^2}=\sqrt{a^2-h^2}.$$

По формуле для радиуса описанной окружности треугольника

$$R=\frac{AH\cdot BH\cdot AB}{4S_{AHB}}=\frac{(a^2-h^2)a}{4\cdot \frac{a^2}{4}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}}=\frac{a^2-h^2}{a\sqrt{3a^2-4h^2}}.$$

После преобразований получаем уравнение относительно $$a^2$$:

$$a^4-(2h^2+3R^2)a^2+h^4=0.$$

Чтобы существовал такой треугольник, это уравнение должно иметь положительные корни. Его дискриминант равен

$$D=(2h^2+3R^2)^2-4h^4=4h^2\cdot 3R^2+9R^4=R^2(12h^2+9R^2)\ge 0,$$

а условие существования подходящих решений приводит к неравенству

$$R\ge \frac{2h}{3}.$$

При этом: