Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника равны $$3$$ и $$6$$, а угол между ними равен $$60^\circ$$. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.
Обозначим через $$D$$ точку пересечения биссектрисы с основанием $$AB$$.
По теореме о биссектрисе:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$
значит, $$AD=\frac{1}{3}AB$$.
Найдём сторону $$AB$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos\angle C$$
$$AB^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cdot \cos 60^\circ =9+36-36\cdot \frac12=27.$$
Следовательно,
$$AB=3\sqrt{3}, \qquad AD=\frac{AB}{3}=\sqrt{3}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Угол $$ACD$$ равен половине угла $$C$$, то есть
$$\angle ACD=30^\circ.$$
По теореме косинусов:
$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos 30^\circ.$$
Подставим известные значения:
$$(\sqrt{3})^2=3^2+CD^2-2\cdot 3\cdot CD\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$3=9+CD^2-3\sqrt{3}\,CD,$$
$$CD^2-3\sqrt{3}\,CD+6=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=\left(3\sqrt{3}\right)^2-4\cdot 6=27-24=3,$$
$$CD=\frac{3\sqrt{3}\pm \sqrt{3}}{2}.$$
Получаем два корня: $$CD=\sqrt{3}$$ или $$CD=2\sqrt{3}$$. Так как биссектриса в треугольнике с данными сторонами должна быть больше меньшей стороны, подходит
$$CD=2\sqrt{3}.$$
Ответ: $$2\sqrt{3}$$.
