Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны длины рёбер: $$AA_1=5$$, $$AB=12$$ и $$AD=8$$. Найдите тангенс угла между плоскостью $$ABC$$ и плоскостью, проходящей через точку $$B$$ перпендикулярно к прямой $$AK$$, где точка $$K$$ — середина ребра $$C_1D_1$$.

Плоскость $$ABC$$ — это плоскость основания параллелепипеда, а плоскость, проходящая через точку $$B$$ перпендикулярно прямой $$AK$$, образует с плоскостью $$ABC$$ двугранный угол, линейный угол которого равен $$\angle A_1AK$$.

Найдём $$A_1K$$. Точка $$K$$ — середина ребра $$C_1D_1$$, значит в прямоугольнике $$A_1D_1C_1C$$ отрезок $$D_1K$$ равен половине $$D_1C_1$$, то есть

$$D_1K=\frac{C_1D_1}{2}=\frac{AB}{2}=6.$$

В прямоугольном треугольнике $$A_1D_1K$$ имеем

$$A_1K^2=A_1D_1^2+D_1K^2=8^2+6^2=64+36=100,$$

следовательно,

$$A_1K=10.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$

$$\tan \angle A_1AK=\frac{A_1K}{AA_1}=\frac{10}{5}=2.$$

Ответ: $$2$$.