Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AA_1=5, AB=12 и AD=8. Найдите тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно к прямой АК, где точка К — середина ребра C_1D_1.

Плоскость $$ABC$$ — это плоскость основания прямоугольного параллелепипеда. Так как $$AA_1 \perp ABC$$, то угол между плоскостью $$ABC$$ и плоскостью, проходящей через точку $$B$$ перпендикулярно к прямой $$AK$$, равен углу между прямой $$AK$$ и плоскостью $$ABC$$, то есть углу $$\angle A_1AK$$.

Найдём $$A_1K$$. Точка $$K$$ — середина ребра $$C_1D_1$$, поэтому в верхнем основании прямоугольника $$A_1D_1C_1B_1$$ отрезок $$D_1K = KC_1 = 6$$, а $$A_1D_1 = AD = 8$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1D_1K$$:

$$ A_1K^2 = A_1D_1^2 + D_1K^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, $$
$$ A_1K = 10. $$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$:

$$ \tan \angle A_1AK = \frac{A_1K}{AA_1} = \frac{10}{5} = 2. $$

Ответ

$$2$$