Упр.399 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны S1 и S2. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$.

При вращении вокруг стороны $$AB$$ получаем цилиндр с радиусом $$r=b$$ и высотой $$l=a$$. Тогда полная поверхность равна

$$S_1=2\pi rl+2\pi r^2=2\pi ab+2\pi b^2=2\pi b(a+b).$$

При вращении вокруг стороны $$AD$$ получаем цилиндр с радиусом $$r=a$$ и высотой $$l=b$$. Тогда

$$S_2=2\pi rl+2\pi r^2=2\pi ab+2\pi a^2=2\pi a(a+b).$$

Из этих равенств получаем

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{b}{a}, \qquad b=a\frac{S_1}{S_2}.$$

Подставим это в формулу для $$S_1$$:

$$S_1=2\pi a\cdot a\frac{S_1}{S_2}+2\pi \left(a\frac{S_1}{S_2}\right)^2.$$

Умножим на $$S_2^2$$:

$$S_1S_2^2=2\pi a^2S_1S_2+2\pi a^2S_1^2.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}, \qquad b^2=\frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)}.$$

Диагональ прямоугольника:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}+\frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)}}.$$

Следовательно,

$$d=\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}}$$