Упр.398 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну.

Введём систему координат так, чтобы ось цилиндра совпадала с осью $$Oz$$, а плоскость $$\alpha$$ была параллельна этой оси. Тогда плоскость $$\alpha$$ можно считать параллельной оси $$Oz$$ и некоторой прямой в плоскости основания цилиндра.

Пусть $$O$$ — центр основания цилиндра, $$R$$ — его радиус. Расстояние от оси цилиндра до плоскости $$\alpha$$ равно $$R$$. Значит, в плоскости основания расстояние от точки $$O$$ до следа плоскости $$\alpha$$ равно $$R$$, то есть этот след касается окружности основания.

Через точку касания окружности основания можно провести единственную прямую, параллельную оси $$Oz$$. Эта прямая лежит в плоскости $$\alpha$$ и является образующей цилиндра. Так как через точку касания окружности проходит только одна касательная, то и образующая в плоскости $$\alpha$$ только одна.

Следовательно, плоскость $$\alpha$$ содержит одну и только одну образующую цилиндра. Такая плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.