Упр.397 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Вершины $$A$$ и $$B$$ прямоугольника $$ABCD$$ лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины $$C$$ и $$D$$ — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна $$a$$, $$AB=a$$, а угол между прямой $$BC$$ и плоскостью основания равен $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$O_1$$ и $$O_2$$ центры верхнего и нижнего оснований цилиндра. Тогда $$O_1O_2=a$$, так как образующая цилиндра равна $$a$$.

Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AB$$ и $$DC$$ соответственно. Тогда в прямоугольнике $$ABCD$$ отрезок $$MN$$ параллелен сторонам $$AD$$ и $$BC$$, а значит, $$MN$$ параллелен прямой $$BC$$. Следовательно, угол между $$MN$$ и плоскостью основания цилиндра тоже равен $$60^\circ$$.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности верхнего основания, а $$AB=a$$, то $$M$$ — середина хорды $$AB$$. Поэтому $$O_1M \perp AB$$ и

$$O_1M=\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}.$$

Аналогично, для хорды $$DC$$ нижнего основания получаем

$$O_2N=\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$O_1MN$$. В нём

$$\tan 60^\circ=\frac{O_1O_2}{MN}.$$

Так как $$O_1O_2=a$$, а $$MN=2O_1M$$, то

$$\sqrt{3}=\frac{a}{2\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}}.$$

Отсюда

$$2\sqrt{3}\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}=a,$$

$$12\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)=a^2,$$

$$12R^2-3a^2=a^2,$$