Упр.397 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вершины A и B прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины C и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, AB = а, а угол между прямой BC и плоскостью основания равен 60°.

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус основания цилиндра, а его образующая равна $$a$$. Тогда высота цилиндра тоже равна $$a$$.

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$. Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности одного основания, а точки $$C$$ и $$D$$ — на окружности другого основания. Проведём через середины сторон $$AB$$ и $$DC$$ отрезок $$MN$$, параллельный $$BC$$. Тогда $$MN$$ — проекция прямой $$BC$$ на плоскость основания, поэтому

$$\angle BNM=60^\circ.$$

Так как $$AB=CD=a$$, то в основании цилиндра хорда $$DC=a$$. Пусть $$O$$ — центр основания, тогда расстояние от центра до хорды $$DC$$ равно

$$ON=\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OLN$$, где $$OL$$ — высота цилиндра, имеем $$OL=a$$ и

$$\tan 60^\circ=\frac{OL}{ON}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{3}=\frac{a}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}.$$

Возводим в квадрат:

$$3\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)=a^2,$$

$$3R^2-\frac{3a^2}{4}=a^2,$$

$$3R^2=\frac{7a^2}{4},$$

$$R^2=\frac{7a^2}{12}.$$